삼평 하이로우 v2.0 Part 2: 확률표는 틀렸다 — 8장 풀에서 다시 잰 족보 확률과 순위의 근거

이 글은 Claude Fable 5.1 을 이용해 초안이 작성되었으며, 이후 퇴고를 거쳤습니다.

Part 1 에서 v1.4 규칙을 복기하고 검증할 가설 일곱 개와 평가 기준 여섯 개를 세웠습니다. 이번 편은 가설 H1(확률표를 믿을 수 없다)과 H2(족보 순위가 희소성과 맞지 않는다)를 다룹니다.

먼저 결론입니다. 원본의 확률표는 대부분 틀렸습니다. 다만 그 표를 근거로 정한 족보 순위는, 근거는 틀렸지만 결과는 대체로 옳았습니다. 순위를 바꿀 곳은 한 군데도 없고, 순위의 설명은 전부 다시 써야 합니다.

1. 표 1 — 8장에서 각 족보가 나올 확률#

원본의 첫 표는 “8장의 카드에서 나올 확률” 입니다. 8장 풀(홀카드 3 + 보드 5)에서 만들 수 있는 최고의 5장이 어느 족보인가를 센 것이므로, 한 핸드는 정확히 한 족보에만 속합니다. 이것을 배타적 확률 이라고 부르겠습니다.

시뮬레이터로 딜 200만 회, 핸드 1,600만 개를 세었습니다.

풀하우스와 플러시가 실제의 60% 로 적혀 있었고, 스트레이트 플러시 계열은 절반이었습니다. 원 페어와 투 페어는 크기가 뒤바뀌어 있었습니다. 8장이면 투 페어가 원 페어보다 흔합니다. 유일하게 맞은 것은 스킵 스트레이트 5.8% 인데, 우연입니다. 같은 방법으로 낸 다른 숫자가 전부 틀렸기 때문입니다.

원본 표의 오류 방향에는 패턴이 있습니다. 강한 족보를 전부 낮게 잡았습니다. 7장 홀덤의 값(풀하우스 2.6%, 플러시 3.0%)에서 “카드가 한 장 더 있으니 조금 더” 라는 식으로 올린 것처럼 보입니다. 실제로는 카드 한 장이 늘 때 강한 족보의 빈도는 “조금” 이 아니라 두 배 넘게 뜁니다. 아래 스트리트별 표에서 그 폭이 보입니다.

2. 표 2 — 플랍·턴·리버별 완성 확률#

원본 부록의 두 번째 표입니다. 홀카드 3장에 보드가 3장(플랍, 6장 풀), 4장(턴, 7장 풀), 5장(리버, 8장 풀)일 때 각 족보가 최고의 손인 확률입니다.

턴(7장) 열의 실측값은 7장 홀덤의 정확값과 같아야 합니다. “7장 중 아무 5장” 이라는 조건이 같기 때문입니다. 풀하우스 2.60%, 플러시 3.02%, 포카드 0.170% 가 홀덤 정확값(2.60%, 3.03%, 0.168%)과 일치하니 이 열은 그 자체로 검산이 됩니다. 스트레이트만 4.38% 로 홀덤의 4.62% 보다 낮은데, 7장 안에 스트레이트와 스킵 스트레이트가 함께 있으면 스킵 쪽으로 분류되기 때문입니다.

주목할 것은 턴에서 리버로 갈 때 풀하우스와 플러시가 2.3배 가 된다는 점입니다. 턴에 트리플이나 플러시 드로우를 든 사람이 리버에서 완성되는 빈도가 홀덤보다 훨씬 높습니다. 8장 풀 게임에서 “턴의 메이드 핸드는 리버에서 자주 뒤집힌다” 는 체감이 숫자로 확인됩니다.

3. 표 3 — 홀덤·PLO 와의 비교#

원본의 세 번째 표는 PLS7 과 텍사스 홀덤(NLH), 팟 리밋 오마하(PLO)의 최종 족보 확률을 나란히 놓은 것입니다. 홀덤 열은 널리 알려진 정확값을 옮긴 것이라 맞았고, PLO 열은 “추정치” 라고 표시되어 있었습니다. 시뮬레이터로 PLO(홀카드 4장, 반드시 2장 사용) 100만 딜을 함께 돌렸습니다.

PLO 추정치는 전부 틀렸습니다. PLO 에서 하이 카드로 끝나는 확률은 17% 가 아니라 3% 입니다. PLO 는 “반드시 2장” 이라는 제약이 있는데도 9장 풀의 힘이 그 제약을 압도해서, 최종 족보 분포는 8장 자유 사용인 PLS7 과 거의 같습니다. 풀하우스 6.07% 대 6.33%, 플러시 6.71% 대 6.73% 입니다.

이 표에서 읽을 수 있는 설계상의 사실은 PLS7 의 족보 분포는 홀덤이 아니라 PLO 에 속한다 는 것입니다. 홀덤을 기준으로 “강한 손이 자주 나온다” 고 느끼는 것이 맞고, PLO 플레이어에게는 익숙한 분포입니다. 다만 스트레이트는 PLO 보다 눈에 띄게 적습니다(7.85% 대 11.29%). 스킵 스트레이트가 스트레이트의 일부를 가져가고, 홀카드가 4장이 아니라 3장이라 커넥터 조합이 적기 때문입니다.

4. 표 4 — 조건 포함 확률과 희소성의 진짜 순서#

원본에는 네 번째 표가 하나 더 있습니다. “해당 족보가 성립하기 위한 최소 조건을 만족할 확률” 입니다. 풀하우스를 든 사람은 트리플 조건도, 원 페어 조건도 만족하므로 각 족보에 중복해서 셉니다. 이것을 조건 포함 확률 이라고 부르겠습니다.

이 표가 중요한 이유는 따로 있습니다. 족보 순위의 근거가 되어야 하는 희소성은 배타적 확률이 아니라 조건 포함 확률 이기 때문입니다. 배타적 확률은 순위를 정한 뒤에야 계산할 수 있습니다. 8장 안에 트리플과 스트레이트가 함께 있을 때 그 손을 트리플로 셀지 스트레이트로 셀지는 순위가 정해야 하기 때문입니다. 순위를 정하기 위한 희소성은 “이 족보를 만들 수 있는가” 로 재야 순환을 피합니다.

원본은 스킵 스트레이트 18%, 스트레이트 25% 로 적었는데 실제는 6.4% 와 9.8% 입니다. 세 배 가까이 부풀려져 있었습니다. 원본의 순위 설명이 “트리플(20%)이 스트레이트(25%)보다 희귀하다” 는 이 표를 근거로 했으니, 그 설명도 함께 무너집니다.

실측 조건 포함 확률을 희귀한 순서로 다시 세우면 이렇습니다.

v1.4 의 순위와 희소성 순위가 어긋나는 곳은 스킵 스트레이트와 플러시, 단 한 쌍 입니다. 나머지 열 개는 전부 희소성 순서 그대로입니다.

5. 트리플 대 스트레이트 — 전제가 반대였다#

원본 부록에서 가장 긴 절이 “삼평 하이로우에서 스트레이트의 가치가 트리플보다 높은 이유” 입니다. 요지는 이렇습니다. “8장에서는 트리플이 스트레이트보다 희귀하다. 희소성대로라면 트리플이 위여야 하지만, 턴에서 스트레이트 드로우가 트리플에 맞설 수 있어야 액션이 살기 때문에 전통 순위를 유지한다.”

실측은 이 전제를 뒤집습니다. 조건 포함 기준으로 트리플 12.0%, 스트레이트 9.8% 입니다. 8장 풀에서 트리플이 스트레이트보다 흔합니다. 배타적 기준으로도 트리플 4.99%, 스트레이트 7.85% 로 트리플이 더 적게 남는데, 그것은 트리플을 든 손의 상당수가 스트레이트나 풀하우스로 분류되어 빠져나가기 때문이지 트리플이 드물어서가 아닙니다.

그러니 스트레이트 > 트리플 은 “희소성을 거스른 설계” 가 아니라 희소성 그대로 입니다. 순위는 그대로 두고, 설명을 바꿉니다.

원본이 든 턴 액션 논거는 여전히 유효합니다. 다만 그것은 주된 근거가 아니라 보조 근거가 됩니다. 원본 시나리오를 그대로 전수 계산해 보았습니다. 턴에서 A 가 트리플, B 가 양방 스트레이트 드로우일 때 리버 42장을 전부 돌린 결과입니다.

트리플을 위에 두면 스트레이트 계열 드로우의 리버 에쿼티가 문자 그대로 0 이 됩니다. 팟 리밋 게임에서 턴 베팅에 맞서 콜할 가격이 절대 나오지 않으니 드로우는 폴드하고, 턴의 액션은 죽습니다. 이 논거는 그대로 살립니다.

세 번째 시나리오는 이 게임에서만 생기는 드로우입니다. 4-6-8-T 는 2 와 Q 로 스킵 스트레이트가 되고, 보드의 5 와 손의 3·4·6 이 7 을 만나면 보통 스트레이트가 됩니다. 아웃 12장, 에쿼티 28.6% 입니다. 홀덤의 양방 드로우(8아웃, 약 17%)보다 강한 드로우가 평범한 카드에서 나옵니다. 이것이 Part 1 에서 “9-7-5 가 커넥터가 된다” 고 한 말의 실체입니다.

6. 스킵 스트레이트 대 플러시 — 유일한 역전을 어떻게 할 것인가#

이제 희소성과 순위가 어긋나는 유일한 쌍입니다. 8장 풀에서 스킵 스트레이트(6.39%)는 플러시(6.89%)보다 근소하게 희귀합니다. 상대 차이 7% 입니다.

두 가지 사실을 더 놓고 판단합니다.

첫째, 5장 기준으로는 순서가 반대 입니다. 52장에서 5장을 뽑는 2,598,960 가지 가운데 플러시는 5,084개, 스킵 스트레이트는 6,120개입니다. 전통 포커 족보는 5장 희소성으로 정해졌고, 그 기준으로는 v1.4 의 순서(플러시 > 스킵)가 맞습니다. 8장 풀에서 역전되는 이유는 랭크만 맞으면 되는 족보(스트레이트 계열)보다 무늬까지 맞아야 하는 족보(플러시)가 카드 수가 늘 때 더 빨리 흔해지기 때문입니다.

둘째, 순서를 바꾸면 쇼다운의 모양이 바뀝니다. 같은 200만 딜을 두 순위로 각각 판정한 6인 쇼다운 결과입니다.

스킵을 위로 올리면 스킵 스트레이트가 풀하우스 다음으로 자주 이기는 족보가 되고, 찹이 1.15%p 늘어납니다. 스트레이트 계열은 같은 랭크 집합이면 무늬와 무관하게 동률이라 여럿이 같은 손을 들기 쉽고, 플러시는 무늬 안의 최고 카드로 갈리므로 동률이 드뭅니다. 위에 있는 족보가 자주 이기는 족보이니, 동률이 잦은 족보를 위에 두면 찹이 늘어납니다.

결정은 현행 유지 입니다. 근거는 세 가지입니다.

1. 8장 희소성 차이가 7% 로 작고, 5장 희소성으로는 현행이 맞습니다. 어느 기준을 택하든 “명백한 오류” 는 아닙니다.
2. 플러시는 모든 포커 플레이어가 위치를 아는 족보입니다. 새 족보를 익히는 학습 비용을 새 족보 쪽이 지게 하는 것이 옳습니다.
3. 현행이 찹을 덜 만듭니다. Part 1 의 기준 C1(찹 비율)에 유리합니다.

이 결정은 Part 1 의 기준 C6(순위와 희소성의 역전은 의도된 것만 남기고 문서화한다)에 따라 v2.0 규칙서에 “의도된 역전” 으로 명시합니다. 원본이 트리플 대 스트레이트에서 하려던 일이 사실은 여기서 필요했던 셈입니다.

참고로 다른 순위 변형도 같은 딜로 재 두었습니다.

트리플을 위로 올리면 찹은 줄지만(트리플은 동률이 거의 없으므로) 앞 절의 턴 액션이 죽습니다. 스킵을 스트레이트 아래로 내리면 스킵 스트레이트로 이기는 판이 절반으로 줄어 새 족보가 장식이 됩니다. 어느 쪽도 택하지 않습니다.

7. 이번 편의 결론#

순위는 한 곳도 바꾸지 않습니다. 바뀌는 것은 설명입니다. “트리플이 더 희귀하지만 스트레이트를 위에 둔다” 는 절은 “트리플이 더 흔하므로 스트레이트가 위다. 덧붙여 턴 액션을 위해서도 그렇다” 로 바뀌고, “스킵 스트레이트가 플러시보다 근소하게 희귀하지만 플러시를 위에 둔다” 는 절이 새로 들어갑니다.

Part 3 에서는 이 게임의 정체성인 홀카드 자유 사용 규칙을 다룹니다. 보드만으로 승부가 나는 판이 얼마나 되는지, 찹이 홀덤보다 잦은지, “최소 1장” 이나 “최소 2장” 으로 바꾸면 무엇이 달라지는지를 같은 딜로 재고, 스타팅 핸드 1,755종의 에쿼티 지도를 그려 쏠림을 확인합니다.

References#

• 원본 가이드: 삼평 하이로우 (PLS7) 게임 가이드 v1.4
• Wikipedia, Poker probability — 5장·7장 정확 빈도
• 이 시리즈의 시뮬레이터와 결과 파일은 Part 5 의 부록에 있습니다